[PDF格式] 离散数学习题解答（第四版）清华大学出版社 离散数学, 清华大学, 习题, 解答

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第1章  习题解答
       
        1．1  除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。
         分析  首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。
        其次，（4）这个句子是陈述句，但它表示的 判断结果是不确定。又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们都是简单命题。（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来的复合命题。这里的“且”为“合取”联结词。在日常生活中，合取联结词有许多表述法，例如，“虽然……，但是……”、“不仅……，而且……”、“一面……，一面……”、“……和……”、“……与……”等。但要注意，有时“和”或“与”联结的是主语，构成简单命题。例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。
        1．2 （1）是无理数，p为真命题。
        （2）能被2整除，p为假命题。
        （6）。其中，是素数，q：三角形有三条边。由于p与q都是真命题，因而为假命题。
        （7），其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。由于p为假命题，q为真命题，因而为假命题。
        （8）年10月1日天气晴好，今日（1999年2月 13日）我们还不知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。
        （9）p：太阳系外的星球上的生物。它的真值情况而定，是确定的。
        （10）p：小李在宿舍里. p的真值则具体情况而定，是确定的。
        （12），其中，是偶数，是奇数。由于q是假命题，所以，q为假命题，为真命题。
        （13），其中，是偶数，是奇数，由于q是假命题，所以，为假命题。
        （14） p：李明与王华是同学，真值由具体情况而定（是确定的）。
        （15） p：蓝色和黄色可以调配成绿色。这是真命题。
        分析  命题的真值是唯一确定的，有些命题的真值我们立即可知，有些则不能马上知道，但它们的真值不会变化，是客观存在的。
        1．3 令则以下命题分别符号化为
        （1）
        （2）
        （3）
        （4）
        （5）
        （6）
        （7）
        （8）
        以上命题中，（1），（3），（4），（5），（8）为真命题，其余均为假命题。
        分析  本题要求读者记住及的真值情况。为假当且仅当p为真,q为假,而为真当且仅当p与q真值相同.由于p与q都是真命题，在4个蕴含式中，只有（2），其中，p同（1），r：明天为3号。
        在这里，当p为真时，r一定为假，为假，当p为假时，无论r为真还是为假，为真。
        1．5 （1），其中，p：2是偶数，q：2是素数。此命题为真命题。
        （2），其中，p：小王聪明，q：小王用功
        （3），其中，p：天气冷，q：老王来了
        （4），其中，p：他吃饭，q：他看电视
        （5），其中，p：天下大雨，q：他乘公共汽车上班
        （6），其中，p，q的含义同（5）
        （7），其中，p，q的含义同（5）
        （8），其中，p：经一事，q：长一智
        分析  1°在前4个复合命题中，都使用了合取联结词，都符号化为合取式，这正说明合取联结词在使用时是很灵活的。在符号化时，应该注意，不要将联结词部分放入简单命题中。例如，在（2）中，不能这样写简单命题：p：小王不但聪明，q：小王而且用功。在（4）中不能这样写：p：他一边吃饭，        q：他一边看电视。
        2° 后4个复合命题中，都使用了蕴含联结词，符号化为蕴含式，在这里，关键问题是要分清蕴含式的前件和后件。
        所表达的基本逻辑关系为，p是q的充公条件，或者说q是p的必要条件，这种逻辑关系在叙述上也是很灵活的。例如，“因为p，所以q”，“只要p，就q”“p仅当q”“只有q才p”“除非q，否则”“没有q，就没有p”等都表达了q是p的必要条件，因而都符号化为或的蕴含式。
        在（5）中，q是p的必要条件，因而符号化为，而在（6）（7）中，p成了q的必要条件，因而符号化为。
        在（8）中，虽然没有出现联结词，但因两个命题的因果关系可知，应该符号化为蕴含式。
        1．6 （1），（2）的真值为0，（3），（4）的真值为1。
        分析  1° （1）中公式含3个命题变项，因而它应该有个赋值：000，001，…，111题中指派p, q为0, r为1，于是就是考查001是该公式的成真赋值，还是成假赋值，易知001是它的成假赋值。
        2° 在公式（2），（3），（4）中均含4个命题就项，因而共有个赋值：0000，0001，…，1111。现在考查0011是它的成假赋值。
        1.7   （1），（2），（4），（9）均为重言式，（3），（7）为矛盾式，（5），（6），（8），（10）为非重言式的可满足式。
        一般说来，可用真值表法、等值演算法、主析取范式（主合取范式）法等判断公式的类型。
        （1）对（1）采用两种方法判断它是重言式。
        真值表法
        表1.2给出了（1）中公式的真值表，由于真值表的最后一列全为1，所以，（1）为重言式。
p        q        r                       
0        0        0        0        1       
0        0        1        1        1       
0        1        0        1        1       
0        1        1        1        1       
1        0        0        1        1       
1        0        1        1        1       
1        1        0        1        1       
1        1        1        1        1       
        等值演算法
       
                                （蕴含等值式）
                         （结合律）
                                         （排中律）
                                                        （零律）
        由最后一步可知，（1）为重言式。
        （2）用等值演算法判（2）为重言式。
       
                                （蕴含等值式）
                                                （等幂律）
                                                （蕴含等值式）
                                                        （排中律）
        （3）用等值演算法判（3）为矛盾式
       
                                （蕴含等值式）
                                        （德·摩根律）
                                        （结合律）
                                                （矛盾律）

好东西，不错不错，顶起来

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关妖精的瓶子
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作者：王瑶  
    （北京大学 王瑶）
    詹姆斯·C·麦克斯韦先生虽然是一位严谨的物理学家，但是在面对超自然现象时却相当能沉得住气，这或许要多亏了他的妻子对一切民间传说的多年爱好。
    眼下不速之客正坐在壁炉旁边，样子多少有点寒酸。经过主人的再三请求，他才勉强摘下头上那顶又厚又皱的暗绿色尖顶帽放在膝盖上揉捏着，露出汗涔涔的额头和那双标志性的毛茸茸的耳朵。
    “抱歉，失陪一下。”麦克斯韦先生说着，起身离开了客厅，这时玛丽正端着咖啡站在走廊尽头。
    “那就是传说中的妖精？”她好奇地问。
    “至少他自己是这么说的。”
    “个头倒挺大的。”玛丽评价道，“就是样子好像不太中用。”
     
    的确，那个坐在壁炉旁的……（该怎么称呼呢？东西？）完全没有任何可以称作是威严、神奇甚至是可怕的仪容，披着一件破旧的外套，倒像一个刚从玉米地里钻出来的农场工人，尽管他确实是像传说中那样，“嘭”地一声，伴随着一阵烟雾凭空出现在麦克斯韦先生的实验室里的。
    “我想这是个玩笑。”麦克斯韦先生耸耸肩，“尽管不明白为什么。”
    “不过你还是小心点，妖精的力量没准儿并不像外表看上去一样。”玛丽说道，语气中却听不出什么担忧之意。他们一起回到了客厅。
    喝下一杯热乎乎的黑咖啡后，妖精看上去放松了一些，于是麦克斯韦先生重新挑起话题：“龙……抱歉，这位先生，您一开始说您的全名是？”
    “科鲁耐里亚斯?古斯塔夫?龙佩尔斯迪尔钦。①”妖精回答道，表情几乎有点不好意思，“这是后来人家给我起的,一个非常古老的德国姓氏。”
    “是的，是的，先生，不过还是让我们继续吧，我记得刚才我们谈到阿基米德。”
    “对，他是我的第一个主人，实话说吧，一个不折不扣的老疯子。”妖精板着脸说，“我被他使唤了几十年，造了不知道多少乱七八糟的东西，罗马兵进叙拉城的前一天晚上，他把我封到石板里面，一封就是一百多年哪。”②说到这里，妖精的眼睛居然有点湿润了，他连忙用长满毛的手背胡乱摸了两下。
    麦克斯韦先生清了清嗓子：“我明白，不过您还没说你们当时打的什么赌呢。”
    “打赌？哦，是的……太久啦，我……我记不清了。”妖精结结巴巴地说，继续低头揉捏他的破帽子，“其实那件事儿从开头就注定是我吃亏，您也知道他是个多难缠的老头。”
    “好吧，那么您又是怎么从法拉第先生的实验笔记里冒出来的呢？”
    “这个说起来话可长，中间经历了好多事儿哪，您要是知道了我那一串儿主人的名字准能猜到是怎么个过程，我也不跟您在这儿废话。”妖精抬起头，用一种近乎哀怨的眼神望着对方，“总之你们这些搞物理的没几个正常人，就拿那位法拉第先生来说吧，我那天正帮他缠线圈缠得好好的，他就突然跟我来一句：‘你跟着我已经够久了吧，我也没什么事儿要你做了。’连声告别都没有，就这么着拿个本子把我封起来，然后我就稀里糊涂地到了您这儿。千真万确，跟了他这么久，除了线圈就是线圈，连一个铜板也没想起来向我要过。”
   
    麦克斯韦先生刚想对此事发表一下评论，因为，众所周知，法拉第先生是他的老师，但是玛丽仪态款款地出现在门口。
    “詹，要留这位先生吃晚饭吗？”
    妖精顿时坐立不安起来，“不……不用麻烦了，先生，太太，我想我们还是尽快把事儿办了吧。”他从口袋里摸索出一卷油腻腻的羊皮纸，因为年代久远而残缺不全。
    麦克斯韦先生展开细细地看，妖精在旁边继续说：“总的来说就是这么回事儿，咱们俩打个赌，我输了，我就供您差遣，要是您输了，您的灵魂和一切财产就归我，而我就从此自由了。”
    “一定得这么办？”玛丽斜过身子问道。
    “老规矩啦，太太，几千年来大家都是这么办的，您大概多少听说过。”