离散数学习题解答（第四版）清华大学出版社

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第1章  习题解答
       
        1．1  除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。
         分析  首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。
        其次，（4）这个句子是陈述句，但它表示的 判断结果是不确定。又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们都是简单命题。（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来的复合命题。这里的“且”为“合取”联结词。在日常生活中，合取联结词有许多表述法，例如，“虽然……，但是……”、“不仅……，而且……”、“一面……，一面……”、“……和……”、“……与……”等。但要注意，有时“和”或“与”联结的是主语，构成简单命题。例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。
        1．2 （1）是无理数，p为真命题。
        （2）能被2整除，p为假命题。
        （6）。其中，是素数，q：三角形有三条边。由于p与q都是真命题，因而为假命题。
        （7），其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。由于p为假命题，q为真命题，因而为假命题。
        （8）年10月1日天气晴好，今日（1999年2月 13日）我们还不知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。
        （9）p：太阳系外的星球上的生物。它的真值情况而定，是确定的。
        （10）p：小李在宿舍里. p的真值则具体情况而定，是确定的。
        （12），其中，是偶数，是奇数。由于q是假命题，所以，q为假命题，为真命题。
        （13），其中，是偶数，是奇数，由于q是假命题，所以，为假命题。
        （14） p：李明与王华是同学，真值由具体情况而定（是确定的）。
        （15） p：蓝色和黄色可以调配成绿色。这是真命题。
        分析  命题的真值是唯一确定的，有些命题的真值我们立即可知，有些则不能马上知道，但它们的真值不会变化，是客观存在的。
        1．3 令则以下命题分别符号化为
        （1）
        （2）
        （3）
        （4）
        （5）
        （6）
        （7）
        （8）
        以上命题中，（1），（3），（4），（5），（8）为真命题，其余均为假命题。
        分析  本题要求读者记住及的真值情况。为假当且仅当p为真,q为假,而为真当且仅当p与q真值相同.由于p与q都是真命题，在4个蕴含式中，只有（2），其中，p同（1），r：明天为3号。
        在这里，当p为真时，r一定为假，为假，当p为假时，无论r为真还是为假，为真。
        1．5 （1），其中，p：2是偶数，q：2是素数。此命题为真命题。
        （2），其中，p：小王聪明，q：小王用功
        （3），其中，p：天气冷，q：老王来了
        （4），其中，p：他吃饭，q：他看电视
        （5），其中，p：天下大雨，q：他乘公共汽车上班
        （6），其中，p，q的含义同（5）
        （7），其中，p，q的含义同（5）
        （8），其中，p：经一事，q：长一智
        分析  1°在前4个复合命题中，都使用了合取联结词，都符号化为合取式，这正说明合取联结词在使用时是很灵活的。在符号化时，应该注意，不要将联结词部分放入简单命题中。例如，在（2）中，不能这样写简单命题：p：小王不但聪明，q：小王而且用功。在（4）中不能这样写：p：他一边吃饭，        q：他一边看电视。
        2° 后4个复合命题中，都使用了蕴含联结词，符号化为蕴含式，在这里，关键问题是要分清蕴含式的前件和后件。
        所表达的基本逻辑关系为，p是q的充公条件，或者说q是p的必要条件，这种逻辑关系在叙述上也是很灵活的。例如，“因为p，所以q”，“只要p，就q”“p仅当q”“只有q才p”“除非q，否则”“没有q，就没有p”等都表达了q是p的必要条件，因而都符号化为或的蕴含式。
        在（5）中，q是p的必要条件，因而符号化为，而在（6）（7）中，p成了q的必要条件，因而符号化为。
        在（8）中，虽然没有出现联结词，但因两个命题的因果关系可知，应该符号化为蕴含式。
        1．6 （1），（2）的真值为0，（3），（4）的真值为1。
        分析  1° （1）中公式含3个命题变项，因而它应该有个赋值：000，001，…，111题中指派p, q为0, r为1，于是就是考查001是该公式的成真赋值，还是成假赋值，易知001是它的成假赋值。
        2° 在公式（2），（3），（4）中均含4个命题就项，因而共有个赋值：0000，0001，…，1111。现在考查0011是它的成假赋值。
        1.7   （1），（2），（4），（9）均为重言式，（3），（7）为矛盾式，（5），（6），（8），（10）为非重言式的可满足式。
        一般说来，可用真值表法、等值演算法、主析取范式（主合取范式）法等判断公式的类型。
        （1）对（1）采用两种方法判断它是重言式。
        真值表法
        表1.2给出了（1）中公式的真值表，由于真值表的最后一列全为1，所以，（1）为重言式。
p        q        r                       
0        0        0        0        1       
0        0        1        1        1       
0        1        0        1        1       
0        1        1        1        1       
1        0        0        1        1       
1        0        1        1        1       
1        1        0        1        1       
1        1        1        1        1       
        等值演算法
       
                                （蕴含等值式）
                         （结合律）
                                         （排中律）
                                                        （零律）
        由最后一步可知，（1）为重言式。
        （2）用等值演算法判（2）为重言式。
       
                                （蕴含等值式）
                                                （等幂律）
                                                （蕴含等值式）
                                                        （排中律）
        （3）用等值演算法判（3）为矛盾式
       
                                （蕴含等值式）
                                        （德·摩根律）
                                        （结合律）
                                                （矛盾律）

Treasure every moment you have because time waits for no man.